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认识相似三角形中常见的基本图形

[日期:2011-06-02] 来源:九江晨报 2011.5.23  作者:朱 云 [字体: ]

讲课人:晨光中学数学老师 朱 云

适用人群:初二学生

《相似图形》这一章节是初二数学乃至整个初中数学课程中较为重要的章节,同时也是较难学的章节之一。不少同学在学习相似三角形时感到吃力,看着复杂的图形不知道哪几对三角形相似,对于证明两个三角形相似也无从下手。这就需要同学们熟练掌握相似三角形基本图形及变型,建立图感,就能在复杂的图形中迅速识别相似的三角形,从而准确、快速地解决相关问题。

首先,让我们来认识一下相似三角形的四种基本图形。

一、A

如图1DE分别是△ABCABAC上的点,DEBC

由判定定理一,得出△ABC∽△ADE

【提示】这种基本图形很像英文字母A,因此我们将它称为A型。

        同学们应该注意观察图中的已知条件并加以应用,比如公共角。

 

二、反A共角型

1、如图2,这种图形是A型的变型。

DEBC不平行,△ABC与△ADE能否相似?

我们可以移动成段DE,使∠AED=B

由相似三角形的判定定理得△ABC∽△ADE

【提示】BC的对应点由DE变成ED,因而对应角和对应线段也发生了相应的变化,这种图形形象地称为反A共角型。

2、变型Ⅰ

继续移动成段DE,使E点与C点重合,

并保持∠AED=B,如图3所示,

得△ABC∽△ACD,从而 =

AC2=AD·AB(比例中项概念)

                                                                                                                                                      

3、变型Ⅱ

ACBCCDAB时,

变成图4,对应点没变,上述结论仍成立,

就得出射影定理这个重要定理。

ABC∽△ACD∽△CBD

由△ACD∽△CBD,对应边成比例得出:

CD2=AD·DB

AC2=AD·AB

BC2=BD·AB

【提示】图3、图4这两种基本图形形象地称为反A共角共变型。

 

三、X

如图5DE分别是△ABC的边BA

CA延长线上的点,

DEBC,△ADE∽△ABC

这种基本图形形象地称为X型。

 

 

 

四、蝶型

如图6DE不平行AB

当∠B=E时,△ABC∽△DEC

这种图形形象地称为蝶型。

 

 

认识完了基本图形,现在来学习学习如何利用基本图形建立图感。只有建立了图感,同学们才能强化对判定定理1的认识和理解。以下两个例子就能帮助大家巩固对这四种基本图形的认识。

1

如图7G是平行四边的CD延长线上的一点,

连接BC交对角线ACE,交ADF

请找出图中,有哪几对相似比不为1的相似三角形。

【答案】△AEF∽△CEBX型)

        GFD∽△GBCA型) ABF∽△CGB

        GFD∽△BFAX型) ABE∽△CGEX型)

2

将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示

(图中的所有点、线都在同一平面内),

请在图中找出两对相似而不全等的三角形,

并对其中一对相似进行证明。

【答案】△ADE∽△BAE,△ADE∽△CDA,△CDA∽△BAE

以上均是反A共角型。

 

以上两个例题能让我们初步建立图感,下面不妨从两个例题中学会在复杂图形中找出基本图形,解决相关问题发展图感。

练习1

如图9,四边形ABCDDEFG都是正方形,

连接AECGAECG相交于点MCGAD相交于点N

试说明AN·DN=CN·MN

 

 

【提示】△AMN∽△CDN(蝶型)

=

AN·DN=CN·MN

练习2

如图10DAC上的一点,

BEACBE=ADAE分别交BDBC于点FG

1=2BFFGEF的比例中项吗?请证明。

【提示】∵△FBG∽△FEB(反A共角共边型)

=

BF2=FG·FE

 

附照片,以便清楚地理解本文。

 

 

 

 

 

 



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